Calificaciones convocatoria de Junio. Revisión el Jueves 15 y Viernes 16.

1 ) La singularidad de Schwarzschild. Estudio y conclusión de que, en realidad, es una singularidad aparente si hacemos un cambio de coordenadas. El espacio de Kruskal. (R,O)

2 ) Sistemas acelerados en relatividad especial: primeras aplicaciones del principio de equivalencia (C)

3 [...]]]> He aquí un listado de posibles temas para hacer los trabajos de exposición en GDA:

1 ) La singularidad de Schwarzschild. Estudio y conclusión de que, en realidad, es una singularidad aparente si hacemos un cambio de coordenadas. El espacio de Kruskal. (R,O)

2 ) Sistemas acelerados en relatividad especial: primeras aplicaciones del principio de equivalencia (C)

3 ) Estudio de la geometría del plano de Minkowski. (C)

4 ) Una aplicación práctica de la relatividad general: estudio de un GPS (TW)

5 ) Agujeros negros en rotación: la solución de Kerr. (TW)

6 ) Estudio del espacio tiempo de De Sitter (C)

7 ) Agujeros negros, partículas luminosas y parámetro de impacto: estudio cualitativo (O)

8 ) Parámetros cosmológicos: constante de Hubble y parámetro de deceleración (CH)

9 ) Cantidades que se conservan en relatividad: hacia una definición de energía y momento (TW)

Bibliografía para usar:

R: Rindler, Essential Relativity
O: O’Neill, Semi-riemannian manifolds with applications to relativity
C: Callahan, The Geometry of space-time
TW: Taylor y Wheeler, Exploring black holes
CH: Chamizo, Una odisea en el espacio-tiempo

Relación 2 de ejercicios de GDA

Relación 1 de ejercicios de GDA

Calificaciones del examen final y de la asignatura en PDF

La revisión de las calificaciones tendrá lugar esta misma semana el miércoles y el viernes desde las 11h hasta las 14h.

Comenzamos la clase de hoy demostrando el teorema que dejamos pendiente en [...]]]>

De como todos sistemas inerciales son igual de válidos para la formulación de la mecánica y la imposibilidad de distinguir entre ellos el estado de reposo, situación incómoda que llevó a Newton a postular la existencia de un espacio absoluto como marco de “quietud”

Comenzamos la clase de hoy demostrando el teorema que dejamos pendiente en la clase anterior:

Teorema. Sea un sistema inercial. Entonces es inercial si, y sólo si, se mueve con velocidad uniforme con respecto de .

En la demostración de este resultado se utilizan algunos hechos básicos:

Con estas dos hipótesis y algo de geometría de vectores se demuestra fácilmente la equivalencia.

Así pues, todos los sistemas inerciales — todos los sistemas en los que la primera ley de Newton es válida — están relacionados por moverse a velocidad constante unos de otros. Podríamos pensar que esta cantidad infinita de sistemas forman una clase — de equivalencia — y que la clase de todos los sistemas está dado por uno cualquiera de ellos módulo una velocidad constante arbitraria . En todos ellos se verifica la primera ley de Newton: las partículas libres se mueven siguiendo líneas rectas, entendiendo por éstas que las coordenadas que registra dicho sistema es una línea recta.

Dados dos de estos sistemas siempre es posible relacionar sus coordenadas. Para ello, asumiremos que están en configuración estándar. Se trata de un argumento similar al dado en el teorema anterior que simplifica las ecuaciones. Las relaciones que cumplen las coordenadas en ambos sistemas se denominan transformaciones de Galileo y las deducimos en clase con muy poco esfuerzo. De estas relaciones se pueden obtener consecuencias sencillas, como la regla de adición de velocidades y el que la aceleración de una partícula es un valor absoluto para cualquier sistema inercial.

Estos hechos nos llevan hacia lo que se conoce como relatividad de Galileo o Newton: las leyes de la mecánica son idénticas en cualquier sistema inercial. Galileo explicaba esto con el ejemplo de la bodega de un barco que avanzaba por un mar casi en calma. La física que experimentan los que están en la bodega es la misma que la que experimentan los que están en el puerto. Nosotros utilizaremos en nuestros ejemplos trenes y es que cada tiempo tiene su medio de locomoción — ojo, nuestro tiempo es el de Einstein.

La relatividad de Newton puede leerse de otra forma: es imposible distinguir con experimentos mecánicos entre dos sistemas inerciales. Todos ellos son igual de válidos para la formulación de la física. Esto lo hemos sentido muchas veces cuando vamos en el 39 y se para otro autobús al lado. Si estamos despistados, si hemos estado de fiesta la noche del jueves y es viernes a primera hora, o si la aceleración es muy leve, y uno de los dos autobuses se mueve, quizás dudemos de cuál de los dos se está moviendo. Con trenes esto también pasa y el efecto sería mucho más acusado si no hubieran ventanas: de hecho, sin ventanas y en movimiento uniforme, sería totalmente imposible distinguir si estamos o no en movimiento.

No obstante, la aceleración sí es absoluta. Podemos dudar de si estamos en movimiento o no con respecto a otro sistema inercial pero no podemos dudar si sentimos aceleración. Si la sentimos, es que no somos ya un sistema inercial. La aceleración es un concepto absoluto como hemos dicho anteriormente. Aunque yo puedo dudar de si mi tren está o no en movimiento uniforme, tendría clarísimo si el tren de repente choca contra el final de la vía porque me sentiría desplazado hacia adelante de manera brusca.

Newton explicaba esta situación diciendo que el estado natural de los cuerpos es el de seguir su propia inercia, esto es, mantener su estado de movimiento uniforme. En caso de que algo fuerce al cuerpo a cambiar su estado, la resistencia del cuerpo al cambio viene medida por una constante que se llama masa inercial y que es la constante de proporcionalidad que relaciona la intensidad de la perturbación — la fuerza — con el efecto mecánico provocado en el objeto — la aceleración a la que se ve sometido.

La pregunta que se hizo Newton a continuación fue esta: ¿aceleración con respecto a qué? La imposibilidad de responder teóricamente a esta cuestión llevó a Newton a postular la existencia de un espacio absoluto, un sistema inercial que estaba realmente “quieto” con respecto a todos los demás que se movían a velocidad uniforme respecto de aquél. Podemos pensar en el espacio absoluto como en una malla densa e invisible, intocable y que no es posible detectar, pero que mantiene a los objetos moviéndose de forma uniforme y que se manifiesta en la resistencia a los cambios de velocidad de los objetos que se mueven libremente a través de él.

En cualquier caso, recordemos que el espacio absoluto — su existencia — no puede demostrarse con experimentos mecánicos como ya hemos advertido por lo que creer — o no — en él era más cuestión de intuición o fe que de ciencia. No obstante, Newton mantuvo este postulado hasta el final de sus días porque le parecía estéticamente impecable y, además, se encontraba fuertemente influido por su época — recordemos que estamos en el siglo XVII y que el contexto religioso era muy fuerte: las posiciones absolutas eran mucho más deseables que las relativas.

Desde un punto de vista práctico, en la época de Newton se identificó el sistema de referencia del espacio absoluto con el marco dado por el sol y las estrellas fijas del cielo. Debemos remarcar que la cosmología de la época hablaba de un sol en el centro del universo, planetas que giraban alrededor de él y un fondo de estrellas fijas que parecía inalterable con el paso del tiempo. Pues estas estrellas fijas determinaban el patrón de quietud para Newton. Con el paso de los años y el descubrimiento de las galaxias y de que estamos en rotación dentro de la Vía Láctea, el espacio absoluto se identifica con el sistema de referencia en el cual todas las galaxias parecen estar en recesión respecto de nosotros, es decir, el sistema que es simétrico en relación al Universo distante — hablar aquí de la imagen del globo que se expande.

Nota: si da tiempo, plantear el experimento del cubo de Mach para entender qué significa el espacio absoluto.

En la época de Newton — siglo XVII — se concebía el espacio como un ambiente 3-dimensional que [...]]]>

De como la primera ley de Newton conlleva serias complicaciones a la hora de definir lo que es una línea recta lo que nos obliga a definir con propiedad qué significa un movimiento rectilíneo y quién lo mide.

En la época de Newton — siglo XVII — se concebía el espacio como un ambiente 3-dimensional que obedecía a las reglas de la geometría euclidea. Recordemos que Euclides, casi 2000 años antes, había establecido una serie de axiomas y elementos básicos con los que describía su geometría. Dicha geometría fue la única conocida hasta comienzos del XVIII por lo que era natural que Newton — y los científicos previos a él — concibieran que la geometría del espacio obedecía a los postulados y reglas de Euclides.

Es en este contexto donde cobra sentido la ley de la inercia o primera ley de la Mecánica de Newton: las partículas libres se mueven a lo largo de líneas rectas con velocidad uniforme.

Es importante remarcar que libre significa no afectadas por ninguna fuerza en tanto que línea recta necesita una explicación mucho más detallada. En principio, por línea recta entenderemos que una partícula libre moviéndose en el espacio sigue una línea recta en el sentido euclidiano.

No obstante, esta última acepción no es operativa. ¿Qué significa línea recta? Podríamos decir algo mejor como, por ejemplo, el camino más corto entre dos puntos dados. Así la primera ley nos quedaría: una partícula libre se mueve a lo largo de una trayectoria de suerte que, dados dos puntos arbitrarios de la trayectoria, aquélla viaja por el más corto de los caminos posibles.

Esta definición es mejor en muchos sentidos pues no necesita involucrar la supuesta estructura euclídea del mundo físico aunque sigue siendo poco operativa a la hora de hacer cálculos. Lo que necesitamos aquí es meter en juego el concepto de sistema de referencia que ya vimos ayer. Con un sistema de referencia podemos determinar la posición de una partícula y tener así una función donde es el vector de posición.

Entonces la ley nos quedaría: una partícula libre se mueve a lo largo de una curva — en relación a un sistema — de suerte que describe un movimiento rectilíneo y uniforme.

Ahora sí están claras las cosas, porque describe un movimiento rectilíneo y uniforme cuando lo podemos escribir así: siendo un punto y un vector respectivamente.

Pero todavía hay un problema que resolver: en la primera ley de Newton hay que especificar bien qué tipo de sistemas de referencias son los idóneos para trabajar. Nos referimos al hecho de que pueden haber sistemas de referencia que por su especial concepción hagan que cosas que son rectas parezcan curvas y viceversa.

Ejemplos sencillos de esto que estamos afirmando son los siguientes:

1. Un ejemplo estático: las coordenadas polares. En ellas, trayectorias que son rectas aparecen como curvas en el plano de coordenadas mientras que otras trayectorias que son curvas aparecen como rectas en el plano de coordenadas. Habría que tener mucha precaución con esto.

2. Un ejemplo dinámico: coordenadas cartesianas en rotación. En ellas las partículas libres seguirían trayectorias similares a las espirales.

En el fondo de este asunto está el siguiente problema: los sistemas de referencia son las “gafas” con las que nos asomamos al mundo físico y extraemos información en base a cantidades, localizaciones, tiempos, etc. Es muy importante entonces saber DISTINGUIR entre propiedades reales y absolutas del mundo físico de propiedades relativas al sistema con el que trabajamos.

En este sentido y para determinar con total precisión cuándo una partícula se está moviendo libremente nos vemos forzados a elegir de entre todos los sistemas de referencia aquellos que cumplen la siguiente condición:

Definición. Un sistema de referencia se dice que es inercial si las partículas libres se mueven siguiendo trayectorias rectilíneas con velocidad constante respecto de dicho sistema.

Dado un sistema de referencia inercial, podemos obtener otros muchos mediante traslaciones, giros, inversiones e incluso transformaciones no necesariamente ortogonales. Pero, ¿hay más formas de obtener sistemas inerciales? Por supuesto, de hecho, se tiene el siguiente teorema cuya demostración veremos el próximo Lunes:

Teorema. Sea un sistema inercial. Entonces es inercial si, y sólo si, se mueve con velocidad uniforme con respecto de .

La teoría de Einstein es una teoría radical en el sentido de que remueve las raíces de la física, desde los conceptos [...]]]>

De cómo la teoría de Einstein, por tratar de conceptos tan básicos como el espacio y el tiempo, requiere de una revisión radical de estos conceptos y platearnos cosas que ya dábamos por superadas

La teoría de Einstein es una teoría radical en el sentido de que remueve las raíces de la física, desde los conceptos más primeros y fundamentales hasta las consecuencias más últimas. Para ver cómo esta teoría redefine conceptos como espacio y tiempo debemos plantearnos qué entendemos precisamente por espacio y tiempo, a ver si lo tenemos medianamente claro.

Sobre el tiempo: definir el tiempo desde un punto de vista físico es definir cómo medimos el tiempo. Para ello necesitamos fenómenos que se repitan con regularidad — es lo que llamamos un reloj — y tenemos muchos, desde los períodos de la luna, los rudimentarios relojes de péndulo hasta los últimos y más avanzados relojes láser o relojes atómicos. Está claro, pues, que medir el tiempo es utilizar un dispositivo — con el nivel de precisión requerido para el experimento — concebido para tal fin. Asumimos que esto es posible y que podemos construir cuantos relojes queramos y con la precisión que necesitemos.

Sobre el espacio: medir el espacio consistiría en medir longitudes, áreas y volúmenes. Nosotros sabemos que es suficiente con medir longitudes para poder medir todo lo demás (un área es el producto de dos longitudes, un volumen el producto de tres). Para hacer medidas espaciales disponemos de una regla, esto es, una unidad de medida estándar que puede estar dada por un patrón, por la millonésima parte de un meridiano o por cien millones de veces la longitud de onda del átomo de cesio. En cualquier caso, asumimos también que es posible tener un estándar para las medidas espaciales, una regla bien definida.

Las dos hipótesis que acabamos de asumir son elementales: para hacer ciencia necesitamos hacer medidas y se supone que podemos hacerlas. Si no, mal nos iría ya desde el principio y no podríamos hablar de nada. Esta hipótesis — la de que se puede medir — es una hipótesis de partida básica.

Si queremos medir cuánto dura una película nos metemos en el cine, ponemos nuestro reloj a cero, vemos la película y, cuando encienden las luces, tomamos nota en nuestro reloj de cuánto ha durado. Ya hemos hecho ciencia: hemos anotado una medición temporal.

Si queremos medir cómo de largo es un coche lo que hacemos es coger una regla suficientemente larga y, con el coche quieto, la ponemos al lado del coche, hacemos marcas respectivas en la regla y anotamos nuestra medición espacial.

Estas dos operaciones son inocentes y parecen verdades de perogrullo. Pero pueden surgir problemas. Por ejemplo, a la hora de medir cuánto dura la película, si nos piden una precisión bestial, deberíamos tener presente que cuando se encienden las luces tras la película, la luz tarda un poquito en llegarnos desde el techo hasta nuestra butaca… ¿qué tiempo debemos tomar entonces?

En el lado espacial también pueden darse situaciones complicadas. Imaginemos que queremos medir la longitud de algo que se mueve. ¿Cómo lo haríamos entonces? No podemos poner la regla ya que la medición nos daría errónea. Lo que tendríamos que hacer es ser solidarios con el objeto en movimiento y hacer la medición como si estuviera en reposo con respecto a nosotros, pero esto parece un poco complicado en algunas situaciones.

¿Cómo se resuelven estos pequeños problemas a la hora de medir? La idea es utilizar un sistema de referencia. Un sistema de referencia es una idealización, un concepto abstracto pero que nos va a permitir soslayar estas dificultades.

¿En qué consiste un sistema de referencia? Un sistema de referencia siempre presupone un observador detrás que es quien lo soporta. La idea es ser subjetivos y egocéntricos: todo está referido a dicho observador. Pensemos en nosotros mismos como sistema. Escojamos un sistema rígido de ejes que salgan de nuestro cuerpo — tenéis que elegir un origen en vuestro cuerpo, a vosotros os dejo escoger el punto en cuestión. ¿Por qué pedimos que los ejes sean rígidos (en otras palabras, que sean congruentes en el tiempo)? Para simplificarnos la vida. Pensad que no es descabellado querer simplificarnos las cosas.

Bien, pues tomamos un sistema rígido de ejes. Una cosa más: los cogemos perpendiculares. ¿Por qué? Pues por seguir buscando lo más simple. Ejes perpendiculares suponen cálculos más sencillos (no aparecen cosenos ni senos, basta hacer Pitágoras para calcular distancias, etc.)

Con estos tres ejes tendríamos resuelta la parte espacial y podríamos medir la longitud de cualquier objeto que estuviera quieto con respecto a nosotros. Pero realmente no hemos avanzado nada pues seguiríamos teniendo problemas para medir longitudes de objetos en movimiento — respecto a nosotros — y también a la hora de medir cuánto dura la película.

¿Qué hacer entonces? Pues vamos a definir un sistema común de tiempos (al loro, que esto es otra idealización, pero perfectamente plausible). Un sistema común de tiempos consiste en pensar que en cada punto de nuestro sistema — en cada — hay un reloj — el mismo en cada punto — de suerte que si algo ocurre en esa ubicación concreta del espacio en un determinado instante de tiempo nuestro sistema recogerá esa información y la grabará como un evento .

Con esto ya tendríamos resuelto el problema de medir cuánto dura la película. Registraríamos en nuestro sistema el evento A que consiste en que el primer fotograma pasa por el proyector y cuyas coordenadas son y luego el evento B consistente en el último fotograma que es proyectado cuyas coordenadas son . Observemos que el proyector no se ha movido con respecto a nosotros durante toda la película — no hemos salido a mear — y que está situado 5 metros por detrás, 2 a la izquierda, 8 por encima de nuestro origen — yo me pido el ombligo. Observemos también que la duración de la película es de 9872 segundos, esto es, la película ha sido un pastelón infame que ha durado 2 horas, 44 minutos y 32 segundos.

Nota. Aquí estamos utilizando ya, de forma implícita, el uso de la unidad metro para el espacio y la unidad segundo para el tiempo.

¿Y el problema de medir longitudes para objetos en movimiento? Este todavía no lo tenemos resuelto. Para ello necesitamos mejorar un poco más nuestro sistema de referencia. La idea es sincronizar todos los relojes. Esto puede hacerse utilizando balas de cañón, ondas sonoras, ondas electromagnéticas, pelotas de tenis y, en general, cualquier fenómeno que se mueva de forma isótropa y homogénea a lo largo, ancho y alto de nuestro sistema. ¿Qué significan estas dos palabras? Pues significan lo siguiente: supongamos que utilizamos pelotas de tenis para sincronizar nuestros relojes y queremos sincronizar el reloj #1 que está en mi ombligo — localización espacial — con el reloj #2 que está al final de la clase enfrente de mí — en . Para ello, cuando en #1 registro lanzo la pelota de tenis a velocidad de un metro por segundo — siempre lanzo las pelotas de tenis a esa velocidad. El reloj #2 estará sincronizado con #1 si, y sólo si, el suceso “la pelota de tenis golpea al reloj #2″ tiene coordenadas . En caso contrario, pues muevo las manecillas y lo sincronizo.

Esto puede hacerse con todos los relojes del sistema de modo que todos vayan al mismo ritmo. ¿Para qué? Por motivos operacionales: si ahora quiero medir la longitud de un objeto en movimiento basta observar dónde está un extremo del objeto en un instante de tiempo y dónde está el otro extremo en el mismo instante . A continuación aplico Pitágoras a la diferencia de las coordenadas espaciales y ya está.

Para terminar, observemos lo esencial que es que el medio para sincronizar los relojes sea un fenómeno isótropo — que no dependa de la dirección del espacio — y homogéneo — que no dependa de la localización en el espacio. Si, por ejemplo, en la clase estuviera abierta la ventana y soplara viento, las pelotas de tenis no viajarían a la misma velocidad en todas las direcciones.

Calificaciones por controles

Los alumnos que aparecen con asterisco (*) deben hablar con el profesor de la asignatura.

Sobre el examen final del Jueves 11: constará de 3 bloques correspondientes a cada uno de los controles cuyo peso en la nota final será de 10-30-60. Quien tenga superado algún bloque [...]]]> Las calificaciones están en este archivo en PDF:

Calificaciones por controles

Los alumnos que aparecen con asterisco (*) deben hablar con el profesor de la asignatura.

Sobre el examen final del Jueves 11: constará de 3 bloques correspondientes a cada uno de los controles cuyo peso en la nota final será de 10-30-60. Quien tenga superado algún bloque en un control puede elegir no hacerlo y entonces se calificará con la nota obtenida en el control. No obstante, quien quiera puede volver a hacerlo y prevalecerá la mejor de las dos notas obtenidas (en el examen  y en el control).

Sobre la revisión del control: será el próximo Lunes 8 de Febrero de 10h a 14h en el despacho S.09 de la Facultad de Matemáticas.

En Murcia, a 4 de Febrero de 2010

El profesor de la asignatura.

José Antonio Pastor González.

]]> La convocatoria del examen de Álgebra y Cálculo ya está puesta en el tablón de anuncios aunque también la podéis consultar aquí:

Convocatoria Examen de Febrero en PDF

Por otra parte, las notas del tercer control aparecerán en esta web el próximo miércoles 3 a las 13 horas y también en el tablón de anuncios.